Moto circolare uniforme e moto armonico

1. Il moto circolare uniforme

Un punto materiale che percorre una circonferenza con velocità (in modulo) costante. Cominciamo dai parametri descrittivi.

Visualizzazione

Raggio $r$ (m)1.20

Velocità ang. $\omega$ (rad/s)1.50

Parametri

Il punto $P$ ruota su una circonferenza di raggio $r$. La sua posizione angolare evolve linearmente nel tempo:

$$\theta(t) = \omega t + \varphi_0$$

dove $\omega$ è la velocità angolare (rad/s) e $\varphi_0$ la fase iniziale. Tre grandezze descrivono il moto:

$$T = \dfrac{2\pi}{\omega} \quad,\quad f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi} \quad,\quad v = \omega r$$

$T$ è il periodo (tempo di un giro), $f$ la frequenza (giri al secondo, Hz), $v$ la velocità tangenziale.

L'accelerazione è puramente centripeta, sempre diretta verso il centro:

$$a_c = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 r$$

Idea chiave. Il moto è uniforme nel modulo della velocità, ma non nel vettore: la direzione cambia continuamente, e questa è la ragione fisica per cui esiste un'accelerazione. Il vettore verde $\vec v$ è sempre tangente alla circonferenza.

2. Vettori posizione, velocità, accelerazione

Sulla circonferenza convivono tre vettori che caratterizzano il moto. Capirne la geometria è il primo passo per leggere la proiezione.

Vettori in tempo reale

posizione $\vec r$ velocità $\vec v$ accelerazione $\vec a$

$\omega$ (rad/s)1.20

Costruzione

Con asse $x$ orizzontale e $y$ verticale, e con $O$ al centro:

$$\vec r(t) = \big(r\cos(\omega t + \varphi_0),\ r\sin(\omega t + \varphi_0)\big)$$

Derivando rispetto a $t$:

$$\vec v(t) = \dfrac{d\vec r}{dt} = \big(-r\omega\sin(\omega t + \varphi_0),\ r\omega\cos(\omega t + \varphi_0)\big)$$

Si verifica subito che $\vec v\cdot\vec r = 0$: la velocità è sempre tangente alla circonferenza. Derivando ancora:

$$\vec a(t) = -\omega^2\,\vec r(t)$$

Notare bene. L'accelerazione è esattamente opposta al raggio: punta sempre verso il centro. Questa proporzionalità con segno meno è — anticipiamo — proprio la firma del moto armonico.

3. La proiezione su un diametro

Se illuminiamo il punto rotante da molto lontano, la sua ombra su un diametro oscilla avanti e indietro. Quella oscillazione è il moto armonico semplice.

Vettori $\vec r,\vec v,\vec a$ e le loro proiezioni sul diametro

$\vec r$ posizione → $x$ $\vec v$ velocità → $v_x$ $\vec a$ accelerazione → $a_x$ ombra sul diametro

Ampiezza $A=r$ (m)1.30

$\omega$ (rad/s)1.10

Fase $\varphi_0$ (rad)0.00

Grafico $x(t)$

Proiettiamo $\vec r(t)$ sull'asse $x$. La coordinata della "ombra" è:

$$x(t) = r\cos(\omega t + \varphi_0)$$

Questa è la definizione cinematica del moto armonico semplice: una funzione sinusoidale del tempo con

$$\text{ampiezza } A = r,\quad \text{pulsazione } \omega,\quad \text{fase iniziale } \varphi_0$$

Ma la proiezione non riguarda solo la posizione. Proiettando sul diametro anche i vettori $\vec v$ e $\vec a$ si ottengono la velocità e l'accelerazione dell'ombra:

$$v_x(t) = -r\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$$

$$a_x(t) = -r\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2\,x(t)$$

Nel disegno: la componente orizzontale di ciascun vettore (segmenti spessi sopra e sotto il diametro) è esattamente ciò che descrive il moto del punto rosso.

Osservazione. Cambiando solo $\varphi_0$ il moto circolare ruota di un angolo, ma la forma dell'oscillazione sull'asse $x$ resta la stessa: solo trasla nel tempo.

4. Cinematica e dinamica del moto armonico

Derivando la proiezione otteniamo velocità e accelerazione del moto armonico, e scopriamo la legge dinamica che lo governa.

Grafici sincronizzati $x,v,a$

$x(t)$ posizione $v(t)$ velocità $a(t)$ accelerazione

Ampiezza $A$ (m)1.20

$\omega$ (rad/s)1.50

Derivazione

Partiamo da $x(t) = A\cos(\omega t + \varphi_0)$ e deriviamo:

$$v(t) = -A\omega\sin(\omega t + \varphi_0)$$

$$a(t) = -A\omega^2\cos(\omega t + \varphi_0)$$

Confrontando l'ultima espressione con $x(t)$ otteniamo la relazione che caratterizza il moto armonico:

$$\boxed{\;a(t) = -\omega^2\, x(t)\;}$$

L'accelerazione è proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio, e di segno opposto. Per la seconda legge di Newton $F = ma$:

$$F(x) = -m\omega^2\, x$$

Definizione dinamica. Un sistema esegue moto armonico semplice se e solo se è sottoposto a una forza di richiamo lineare nello spostamento: $F = -kx$, con $k>0$. Confrontando con $F = -m\omega^2 x$ si legge subito $\omega = \sqrt{k/m}$.

Da qui il periodo:

$$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}$$

Nei prossimi due passi applichiamo questa lente a due sistemi fisici concreti.

5. Caso particolare: la molla esempio diretto

Una massa attaccata a una molla ideale è il prototipo dell'oscillatore armonico: la legge di Hooke è già la forma $F=-kx$.

Animazione

Massa $m$ (kg)1.0

Costante $k$ (N/m)10.0

Ampiezza $A$ (m)0.80

Ricavare il periodo

Per una molla ideale di costante elastica $k$, la forza di richiamo è la legge di Hooke:

$$F = -k\,x$$

Applicando la seconda legge di Newton al carrello di massa $m$:

$$m\,a = -k\,x \quad\Longrightarrow\quad a = -\dfrac{k}{m}\,x$$

Confrontando con la firma del moto armonico $a = -\omega^2 x$:

$$\omega^2 = \dfrac{k}{m} \quad\Longrightarrow\quad \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$$

$$\boxed{\;T_{\text{molla}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\;}$$

Implicazioni. Il periodo dipende solo da $m$ e $k$, non dall'ampiezza $A$ (isocronismo). Una molla più rigida (più $k$) o una massa più leggera danno oscillazioni più rapide.

Il valore attualmente impostato dà $T = $ … s, $f = $ … Hz.

6. Caso particolare: il pendolo semplice piccole oscillazioni

Per un pendolo la forza di richiamo è geometrica, dovuta alla gravità che riallinea il filo verso la verticale. Diventa armonica solo nell'approssimazione di piccoli angoli.

Animazione

Lunghezza $L$ (m)1.00

$g$ (m/s²)9.81

Ampiezza $\theta_0$ (°)15

Ricavare il periodo

Sia $\theta$ l'angolo del filo rispetto alla verticale. Lungo la direzione tangenziale alla traiettoria, sulla massa $m$ agisce la componente del peso:

$$F_t = -mg\sin\theta$$

Lungo la traiettoria, lo spostamento dalla verticale è l'arco $s = L\theta$. La seconda legge di Newton in direzione tangenziale, con $a$ accelerazione lungo l'arco, dà:

$$m\,a = -mg\sin\theta \;\Longrightarrow\; a = -g\sin\theta$$

Per piccoli angoli, $\sin\theta \approx \theta = s/L$ (sviluppo di Taylor al primo ordine):

$$a \approx -\dfrac{g}{L}\,s$$

Stessa firma del moto armonico $a = -\omega^2 s$, con

$$\omega^2 = \dfrac{g}{L} \;\Longrightarrow\; \boxed{\;T_{\text{pendolo}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;}$$

Attenzione. A differenza della molla, il pendolo è armonico solo in approssimazione. Aumentando l'ampiezza il periodo cresce: l'isocronismo di Galileo vale rigorosamente solo per piccole oscillazioni.

Valori attuali: $T = $ … s, $f = $ … Hz.

7. Confronto e riepilogo

Stessa equazione, due realizzazioni fisiche diverse. La pulsazione $\omega$ traduce le proprietà del sistema concreto nei parametri dell'oscillazione astratta.

Lo stesso moto armonico, tre incarnazioni

proiezione del moto circolare molla pendolo (piccoli angoli)

$\omega$ comune (rad/s)1.50

Tabella sinottica

Sistema	Forza di richiamo	$\omega^2$	Periodo $T$
Proiezione del MCU	(definizione cinematica)	$\omega^2$	$2\pi/\omega$
Molla — massa $m$	$F=-kx$	$k/m$	$2\pi\sqrt{m/k}$
Pendolo (piccoli angoli)	$F_t \approx -mg\,\theta$	$g/L$	$2\pi\sqrt{L/g}$

Lettura unitaria. Ogni moto armonico semplice è "geometricamente equivalente" alla proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro. La differenza fra molla e pendolo sta solo nel contenuto fisico di $\omega$: dipende dalla rigidezza in un caso, dalla geometria del campo gravitazionale nell'altro.

Domanda di verifica. Se raddoppi la massa di una molla, di quanto cambia il periodo? E quello di un pendolo? (Risposta: la molla rallenta di $\sqrt 2$, il pendolo non cambia — la massa non compare in $T_{\text{pend}}$.)